การโยนลูกโบว์ลิ่งให้ชนพินให้ได้มากที่สุด มีเทคนิควิธีการอย่างไร ? จงอธิบายโดยหลักฟิสิกส์

         
โบว์ลิ่งนั้นทำมาจาก Urethane พลาสติก เรซิ่น (Reactive Resin) หรือรวมๆกัน เลนของโบว์ลิ่งโดยทั่วไป จะยาว 18.3 เมตร กว้าง 1.52 เริ่มด้วยเส้นฟาวล์โดยที่ 2/3 ของเลนถูกเคลือบในน้ำมัน และ พิน แต่ละพิน หนัก 3.375-3.625 Ibs ความสูง 15 นิ้ว ส่วนกว้างที่สุดยาว 4.7 นิ้ว ลูกโบว์ลิ่งนั้นจะไม่ล้มถ้าเอียงไม่น้อยกว่า 10 องศาจากพื้นเลนปกติ ในส่วนของลูกโบว์ลิ่งนั้นมวลสูงสุดไม่เกิน 16 lbs เส้นรอบวง 27 นิ้ว ในการเล่นโบว์ลิ่ง จุดมุ่งหมายในการโจมตี คือล้ม Pin ให้มากที่สุดที่เท่าได้ การ strike โบว์ลิ่งนั้น ในทางฟิสิกส์ ขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆที่อาจทำให้แตกต่างกันไป อาทิเช่น ความเร็วของลูกโบว์ลิ่ง มุมในการโจมตีพิน เป็นต้น

คำเตือน : บทความนี้เป็นบทความเก่าอาจยังไม่ได้รับการตรวจสะกดคำให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้างในลูกโบว์ลิ่ง (Bowling Ball Interior)

         โบว์ลิ่งนั้นประกอบด้วยเปลือกแข็งด้านนอกกับ weight block ในแกนกลาง(ข้างในลูกโบว์ลิ่ง) ซึ่งมวล และ รูปทรงของ weight block ส่งผลต่อการหมุนของลูกโบว์ลิ่ง และ การที่ลูกโบว์ลิ่งจะโค้งอย่างไรเมื่อเขวี้ยงลงเลน Weight block ที่ใช้นั้นมีสองประเภท คือแบบสมมาตรกับไม่สมมาตร เพื่อให้เห็นภาพลองจินตนาการดูว่า เรากำลังตัดลูกโบว์ลิ่งครึ่งหนึ่งในแนวระนาบดังรูป

ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นถึง มุมมองของลูกโบว์ลิ่งที่ตัดตามขวาง (cross-section) ของ weight block สมมาตร


Weight block นั้นถูกเปลี่ยนมาเป็นลูกโบว์ลิ่ง คำว่า “pin” ดังรูป แสดงให้เห็นถึงตำแหน่งสูงสุดของ weight block อย่างที่เห็นตำแหน่งสูงสุด คือ บริเวณที่ใกล้ที่สุดกับพื้นผิวด้านนอกของลูกโบว์ลิ่ง

Weight block สมมาตรที่เรียกว่า “สมมาตร (symmetric)” ก็เพราะ แกนสมมาตร (axi-symmetric) แสดงว่า มีแกนสมมาตรที่ควบคู่กับเส้นผ่านศูนย์กลาง เพื่อให้เห็นภาพมากยิ่งขึ้น ลองพิจารณารูปภาพข้างล่างที่ใช้ระบบพิกัด xyz และ G คือ จุดศูนย์กลางมวล (C.M.) ของลูกโบว์ลิ่ง

         สมมติให้ระนาบ x-z คือแนวราบในการตัด สำหรับมุม θ ใดๆ มุมมองการตัดของ weight block ที่สมมาตรจะเป็นเหมือนเดิมเสมอ หรือพูดอีกอย่างว่า weight block ที่สมมาตร แกนสมมาตรจะแปรไปตามกับมุม θ

ภาพด้านล่างแสดงถึง มุมมองของลูกโบว์ลิ่ง ที่ตัดตามขวาง (cross-section) ของ weight block ที่ไม่สมมาตร

         “pin” คือตำแหน่งสูงสุดของ weight block ที่ไม่สมมาตร แต่อย่างไรก็ตาม weight block ที่ไม่สมมาตรนั้น ไม่ใช่แกนสมมาตรที่แปรไปตามมุม θ เนื่องจากความไม่สมมาตรของตัวมัน "PSA indicator pin" ถูกวางไว้ตรงด้านของ weight block ณ บริเวณที่ใกล้ที่สุดกับพื้นผิวด้านนอกของลูกโบว์ลิ่ง และ ทั้งสองทำมุม 90 องศาซึ่งกันและกัน ดังรูป “PSA indicator pin” หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าตำแหน่ง “Mass bias” พินบนลูกโบว์ลิ่ง ทำให้เราสามารถวัดทิศทางและตำแหน่ง (orientation) ของ weight block ที่อยู่ข้างในได้ weight block สมมาตร ต้องการเพียงพินเพียงแค่หนึ่งเดียว ก็สามารถบอกตำแหน่งและทิศทาง (orientation) ข้างในลูกโบว์ลิ่งได้ แต่ weight block แบบไม่สมมาตร ต้องการ 2 พิน จึงจะสามารถบอกตำแหน่ง และ ทิศทางได้ (เนื่องจากมันไม่สมมาตร)

         พินบนลูกโบว์ลิ่ง ก็ทำให้เราได้รู้ข้อมูลที่สำคัญอีกอย่าง คือ เมื่อสอดนิ้วมือเข้าไปในช่องของลูกโบว์ลิ่ง ก็สามารถควบคุมการหมุนและความโค้งขณะเคลื่อนที่ ของลูกโบว์ลิ่งซึ่งจะทำให้สามารถสร้างลูกที่ดีที่สุดเท่าที่เป็นได้ ซึ่งจะอธิบายในภายหลังต่อไป โบว์ลิ่งแบบสมมาตร กับ แบบไม่สมมาตร นั้นให้ผลที่คล้ายกันในแง่ของประสิทธิภาพ แต่ลูกโบว์ลิ่งแบบไม่สมมาตร ก็สามารถทำให้ลูกโบว์ลิ่งมีปฏิกิริยาตอบสนองในทิศทางที่แน่นอนของการเคลื่อนที่ได้มากกว่าเล็กน้อย ส่วนสุดท้ายที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง ที่จะเพิ่มเติมให้กับพินบนลูกโบว์ลิ่ง คือนอกเหนือ จุด 2 จุดที่น่าสนใจบนลูกโบว์ลิ่งแล้ว ก็คือ Positive Axis Point (PAP) และ จุดศูนย์ถ่วง (CG) ซึ่งทั้งนี้ก็สัมพันธ์โดยตรงกับฟิสิกส์ของลูกโบว์ลิ่งที่จะแสดงดังภาพข้างล่าง

         ตำแหน่ง PAP คือ แกนเริ่มต้นของการหมุนลูกโบว์ลิ่งในขณะที่ลูกโบว์ลิ่งเริ่มที่จะตกเลน การหมุนของแกนทั้งหมดขึ้นอยู่กับนักโบว์ลิ่งจะใช้เทคนิค ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะตัวของแต่ละคน โดยที่ wo คือ ความเร็วเริ่มต้นของการหมุน(ความเร็วเชิงมุม) ของลูกโบว์ลิ่ง ซึ่งขึ้นอยู่กับเทคนิคของแต่ละคนเช่นกัน ภาพด้านล่างแสดงถึงเส้นสมมติซึ่งมาจากจุด C ของลูกโบว์ลิ่ง ดังรูป แล้วผ่านไปตามจุดศูนย์กลางมวล G ของลูกโบว์ลิ่ง ซึ่งส่วนที่ตัดกัน (intersection) ของเส้นกับพื้นผิวของลูกโบว์ลิ่ง เรียกว่า CG จุดนี้เป็นประโยชน์เพราะทำให้เราทราบถึงตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวล G บนลูกโบว์ลิ่งได้

การเคลื่อนไหวของลูกโบว์ลิ่ง (Bowling ball Motion)

         แนววิถีที่ดีที่สุดของการเล่นโบว์ลิ่ง คือ เส้นทางโค้ง (Curve path) ถ้าลูกโบว์ลิ่ง เป็นไปตามเส้นทางโค้งแล้วลูกโบว์ลิ่งจะสามารถเคลื่อนที่ไปยังพินได้มุมที่กว้างกว่า โบว์ลิ่งที่เคลื่อนในแนวเส้นตรง เพราะฉะนั้นการควบคุมมุมในเส้นโค้งจึงจำเป็นต้องการสร้างลูกที่ดีที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ นักโบว์ลิ่งจะต้องโยนหลังเส้นฟาวล์และต้องระวังที่จะทำให้ลูกโบว์ลิ่งหล่นไปในท่อข้างๆ สองภาพข้างล่างแสดงให้เห็นถึงการเคลื่อนที่ของโบว์ลิ่งมาทางด้านล่างของเลน ซึ่งลักษณะนี้โดยทั่วไปจะเป็น นักโบว์ลิ่งที่ถนัดมือขวา

         ลูกโบว์ลิ่ง เริ่มที่กลิ้งไปด้วย ความเร็วเชิงมุม ของ wo และ ความเร็วเชิงเส้น Vo โดยทั่วไป เมื่อ ส่วนแรกของการเคลื่อนที่ ลูกโบว์ลิ่งเลื่อนไถล (slide) ไปตามเลน จนกระทั่ง ความเร็วเชิงมุมของลูกโบว์ลิ่ง ไม่เหมือนกับ ความเร็วเชิงเส้นของลูกโบว์ลิ่ง แต่ในที่สุด แรงเสียดทานของเลนก็ทำให้ลูกโบว์ลิ่งหยุดจากการเลื่อนไถล (slide) และ การเริ่มกลิ้ง(roll) อย่างแท้จริง จากนั้น ลูกโบว์ลิ่งยังคงกลิ้งต่อไปจนกระทั่งจนพิน ลูกโบว์ลิ่งชนพิน ณ ตำแหน่ง ทำมุม θ ความกว้างของมุมที่มากกว่า ผลจาก ความเอียง และ มีโอกาสมากกว่า ที่ทำให้พินทั้งหมดล้มลง ดังรูป เราเรียกความหันเหเบี่ยงเบนนี้ว่า “Hook” ตำแหน่งของ wo (PAP) ดังรูป สัมพันธ์กับตำแหน่งของพินบนลูกโบว์ลิ่ง เป็นสิ่งที่สำคัญมากในการเพิ่มขนาดมุมของ Hook δ และ θ อย่างไรก็ตาม นิ้วมือ จะต้องอยู่ในตำแหน่งที่เป็นทางที่ดีที่สุดให้สัมพันธ์กับตำแหน่งของพินจึงจะสามารถสร้างการโจมตีพินที่ดีเลิศได้ ตำแหน่งของ จุดศูนย์ถ่วง (CG) ก็สัมพันธ์กับ ตำแหน่ง PAP ก็มีผลต่อมุม δ และ θ แต่จะองศาจะน้อยกว่ามาก จึงไม่ถูกคิดผลสำหรับค่าที่ใกล้เคียงกันมากเวลาขณะปรับลูกโบว์ลิ่งให้เข้าที่เข้าทาง และ มีประสิทธิภาพ สำหรับนักโบว์ลิ่งแต่ละคน PAP (โดยประมาณ) คือ อยู่ในตำแหน่งที่กำหนดไว้แล้วซึ่งสัมพันธ์กับช่องใส่นิ้วมือและนิ้วโป้ง ต้องถูกกำหนดด้วย ลูกโบว์ลิ่ง "ทดสอบ" และเมื่อตำแหน่งที่สัมพันธ์ถูกกำหนดแล้วใส่นิ้วเข้าไปในลูกโบว์ลิ่งแล้วแล้ว ผลของ PAP จะอยู่ในตำแหน่งที่ดีที่สุดที่จะสัมพันธ์กับตำแหน่งของพิน โดยสรุปแล้ว ตำแหน่งของ PAP สัมพันธ์กับพิน บนลูกโบว์ลิ่งโดยจะเป็นตัวกำหนดการหมุนของโบว์ลิ่งในขณะที่ตกหลุมว่ามากน้อยเพียงใด ดังนั้น ระดับ การหมุนของลูกโบว์ลิ่ง เป็นสัดส่วนโดยตรง ระดับของแรงเสียดทานระหว่างเลนกับลูกโบว์ลิ่ง ระดับของแรงเสียดทาน สร้างผลกระทบมุม δ และ θ เป็นอย่างมาก โดยทั่วไป ยิ่งมีการหมุนมากเท่าไร ก็ยิ่งทำให้เกิดแรงเสียดทานมากขึ้นเท่านั้น และผลของการกระทำนั้นทำให้ เกิดการ Hook มายิ่งขึ้นด้วย นี่คือหนึ่ง ในมาตรฐานหลัก ที่ผู้เล่นโบว์ลิ่งที่ดีทุกคน จะต้องตระหนักถึง การปรับลูกโบว์ลิ่งในเกมส์ของตนเอง ให้เป็นไปตามมาตรฐานหลัก เพื่อประสิทธิภาพในการเล่นที่ดีที่สุด

ภาพด้านล่าง แสดงให้เห็นถึงการหมุนของลูกโบว์ลิ่ง และ แรงเสียดทาน ระหว่างเลนกับลูกโบว์ลิ่ง มีผลได้อย่างไร

         จากภาพด้านบน การหมุนควง (precession) คือการเปลี่ยนทิศทางการหมุนของลูกโบว์ลิ่งเวกเตอร์ wspin ตลอดเวลาตัวอย่าง ลูกข่าง (spinning top) มี 2 ส่วนประกอบในการหมุน ส่วนประกอบแรกคือ ส่วนประกอบหลักที่จะหมุนรอบข้่างบนแกนกลาง ส่วนประกอบที่สองคือ ส่วนประกอบรองในการหมุน ทำให้การหมุนของด้านบนเปลี่ยน ดังนั้นแกนกลางจึงอยู่รอบๆวงกลม ส่วนประกอบที่สองนี่แหละที่เรียกว่า การหมุนควง (precession)

         ในกรณีของลูกโบว์ลิ่งหมุนควง ทำให้โยกไปโยกมา (back and forth rocking) ตามรูป อย่างตอนที่ลูกโบว์ลิ่งตกเลน ความเปลี่ยนแปลงนี้ สัมผัสกับพื้นผิว หลังจาก การเปลี่ยนแปลงแต่ละลูก เต็มรูปแบบแล้ว และดังนั้นทำให้เพิ่มพื้นที่ของลูกโบว์ลิ่งที่จะสัมผัสกับเลน ซึ่งปรากฎอย่างชัดแจ้งเห็นได้จากเส้นน้ำมัน (oil lines) ที่ต่างกัน ดังรูป ซึ่งลูกโบว์ลิ่งถูกหยิบขึ้นจากที่สัมผัสกับเลน เส้นน้ำมันปรากฎ “แผ่ออก (flared out)” ซึ่งความกว้างของการแผ่ออกนั้น เรียกว่า “track flare” ซึ่งเป็นหน่วยวัดองศาของการ โยกเยก (rocking) อันเนื่องจากการหมุนควง เพราะฉะนั้นแล้วการหมุนควงมีผลในแรงเสียดทานที่มากกว่าระหว่างเลนกับโบว์ลิ่งเมื่อน้ำมันได้แผ่ออกไปบนพื้นผิวของลูกโบว์ลิ่งในพื้นที่ที่มีความกว้างได้มากกว่าในกรณีถ้าลูกโบว์ลิ่งนั้นไม่ได้มีการหมุนควง ซึ่งถ้าเป็นกรณีนี้จะมีเพียงเส้นน้ำมันเพียงเส้นเดียว และ จะทำให้มีแรงเสียดทานน้อยกว่าเนื่องจากเลนสัมผัสกับพื้นที่เดิมๆของโบว์ลิ่งอย่างซ้ำๆ

         ดังนั้น การหมุนควงจึงให้ผลในพื้นที่กว้างกว่า ของลูกโบว์ลิ่ง ในการสัมผัสกับเลน ซึ่งให้ผลเป็นการสะสมน้ำมันที่น้อยกว่า บนลูกโบว์ลิ่ง ต่อ พื้นที่สัมผัส ดังนั้นจึงมีผลให้แรงเสียดทานมากกว่าด้วย สิ่งนี้แหละจึงกลายเป็น สิ่งที่ชัดเจนที่สุดบนส่วนที่ “แห้ง” (ไม่มีน้ำมัน) ของเลน ซึ่งโดยปกติ จะเป็นที่สามสุดท้าย (หรือมากกว่านั้น) ของความยาวเลน ในส่วนนี้ของเลน แรงเสียดทานระหว่างเลนกับลูกโบว์ลิ่ง คือ ส่วนที่สำคัญที่สุด ต่อ จำนวนของน้ำมันที่จะถูกสะสมบทลูกลูกโบว์ลิ่งต่อพื้นที่สัมผัส (เมื่อเลนแห้ง) นี่หมายถึง การหมุนควง นำมาซึ่ง ระดับแรงเสียดทานระหว่างเลนกับลูกโบว์ลิ่ง เพราะฉะนั้น ส่วนที่แห้งของเลน ลูกโบว์ลิ่งที่มีการหมุนควงอยู่ จะ hook มากที่สุด

ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นถึง รูปแบบของเส้นน้ำมันโดยปกติ

         กล่าวโดยสรุปเกี่ยวกับแรงเสียดทาน น้ำหนักของ weight block ไม่มีผลเท่าไรนักต่อแรงเสียดทาน ที่มีผลต่อลูกโบว์ลิ่ง เลนของลูกโบว์ลิ่งที่ถูกน้ำมัน จะสร้างพื้นผิวที่ลื่นไหล (Smooth) ด้วยแรงเสียดทานที่น้อยกว่า นำ้มันที่มากกว่าหากถูกปล่อย แรงเสียดทานที่น้อยเกิดบริเวณลูกโบว์ลิ่งกับพื้นผิวเลน ดังนั้น ความเร็วของลูกโบว์ลิ่งจึงไม่ได้รับผลกระทบ และ ยิ่งเป็น weight block สมมาตร มากเท่าไร การลดของแรงเสียดทาน ก็จะน้อย เพราะ น้ำหนัก ถูกวางที่ใดๆ อย่างสม่ำเสมอ ไปยัง ด้านของลูกโบว์ลิ่ง การหมุนของลูกโบว์ลิ่ง จุดศูนย์กลางมวลของลูกโบว์ลิ่ง มักจะไม่อยู่เป็นจุดเดียวกับ จุด CG ผลรวมของแรงที่นำให้หมุน (net torque) มากกว่าศูนย์ ทำให้เกิดการหมุนควง ดังรูป ซึ่งเป็นผลให้เกิดการโยกเยกที่ แล้ว ทำให้พื้นผิวของลูกโบว์ลิ่ง สัมผัสกับเลนได้มากกว่า

         เทคนิคของโบว์ลิ่งที่สำคัญ เราเรียกมันว่า Entry Angle ซึ่งก็คือ มุมซึ่งลูกโบว์ลิ่ง เข้าพินโดยสัมพันธ์กับ Longitude ของเลน มันเป็นไปได้ที่จะโจมตีพิน ณ ตำแหน่ง entry angle ใดๆ แต่อย่างไรก็ตามนั้น มุมที่เล็กกว่า มุ่งไปยัง Pocket (30-45 องศา) อาจเป็นผลให้โจมตีพินได้สูงกว่าก็เป็นไปได้

ถ้าโยนลูกโบว์ลิ่งในทิศทางตรง แล้ว หากโยนแรงๆที่ศูนย์กลาง สามารถทำให้ ออกจาก ขอบพินที่กำลังตั้งอยู่ หรือแย่กว่านั้น หากออกจาก พิน 7 และ 10 ด้วยกัน แต่ถ้าหากโยนเบาไป ที่ศูนย์กลาง ก็มีแนวโน้มที่จะ ออกจากศูนย์กลางพิน และ ขอบพิน และ เทคนิคที่เรียกว่า Hook ซึ่งวิธีนี้จะทำให้ โบว์ลิ่งอยู่ในตำแหน่งที่มุมเล็กกว่า Entry angle โดยวิธีการนั้นที่จะใช้เทคนิคนี้ คือ ปล่อยลูกโบว์ลิ่งด้วยข้อมือ

กล่าวโดยสรุปภาพรวมทั้งหมด ก็คือ ในการเล่นโบว์ลิ่งนั้น มีเทคนิควิธีที่สำคัญอยู่ 2 อย่าง คือ เทคนิค Entry Angle กับ Hook ซึ่งถ้าเราจะใช้เทคนิคเหล่านี้ให้ได้ตามเป้าหมายเราคือ ต้องการล้ม Pin ให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ เราต้องพิจารณาปัจจัยต่างๆที่มีผลต่อการเคลื่อนไหวของลูกโบว์ลิ่งในทางฟิสิกส์ เพื่อหาคำตอบว่า ปัจจัยนั้นๆ ต้องทำอย่างไรจึงจะตรงตามเป้าหมายเรามากที่สุดในส่วนแรก เราได้ศึกษาข้างในลูกโบว์ลิ่ง พบว่า ส่วนที่อยู่ด้านใน คือ weight block ซึ่งมวล และ รูปทรง มีผลต่อการหมุนของลูกโบว์ลิ่ง พินบนลูกโบว์ลิ่ง ทำให้เราทราบว่า สอดนิ้วมือเข้าไปในช่องของลูกโบว์ลิ่ง ก็สามารถควบคุมการหมุนและความโค้งขณะเคลื่อนที่ ของลูกโบว์ลิ่งซึ่งจะทำให้สามารถสร้างลูกที่ดีที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ตามเป้าหมายได้ รวมถึง ลูกโบว์ลิ่งแบบสมมาตร กับ และ ไม่สมมาตร ความสามารถนั้นคล้ายกันแต่ต่างกันที่ แบบไม่สมมาตร ตอบสนองในทิศทางที่แน่นอน ได้ดีกว่าเล็กน้อย ส่วนที่สอง เราได้ศึกษา การเคลื่อนไหว

เราพบว่า แนววิถีที่ดีที่สุดในการเล่นโบว์ลิ่ง คือ เส้นทางโค้ง เพราะจะเคลื่อนที่ไปยังพินได้มุมที่กว้างกว่า โบว์ลิ่งที่เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง และ เมื่อลูกโบว์ลิ่งชน ความเอียง ทำให้เรามีโอกาสที่จะล้มพินทั้งหมด ได้มากกว่า และ ตำแหน่ง wo (PAP) จะต้องสัมพันธ์กับ ตำแหน่งพินบนลูกโบว์ลิ่ง เพราะสำคัญมากในการทำให้มุมมากขึ้น ตำแหน่งของ PAP สัมพันธ์กับพิน บนลูกโบว์ลิ่งโดยจะเป็นตัวกำหนดการหมุนของโบว์ลิ่งในขณะที่ตกหลุมว่ามากน้อยเพียงใด และ ยิ่งมีการหมุนมากเท่าไร ก็ยิ่งทำให้เกิดแรงเสียดทานมากขึ้นเท่านั้น และผลของการกระทำนั้นทำให้ เกิดการ Hook มายิ่งขึ้นด้วย เลนที่ถูกน้ำมัน จะมีพื้นที่ลื่นไหล มีแรงเสียดทานน้อย ยิ่ง weight block สมมาตรมากก็ยิ่งลดแรงเสียดทานได้น้อย จากหลักการทางฟิสิกส์ทั้งหลายเหล่านี้ เราสามารถนำไปปรับใช้ได้โดยตรง โดยอาจนำไปประยุกต์กับเทคนิคที่มีอยู่เดิมกลายเป็นเทคนิคใหม่ที่มีประสิทธิภาพมากในการเล่นมากยิ่งขึ้นได้ แต่อย่างไรก็ตามทั้งหมดทั้งมวลที่กล่าวมาข้างต้น จะไม่มีคุณค่าอะไรเลยหากปราศจากซึ่ง“การฝึกฝน”

อ้างอิง

  • The Physics Of Bowling. (2558). เข้าถึงได้จาก: http://www.real-world-physics-problems.com/
  • physics-of-bowling.html/ (วันที่ค้นหาข้อมูล : 30 พฤศจิกายน 2558).
  • University of California. (2558). The Physics of Bowling Become a professional … maybe เข้าถึงได้จาก: http://bemiles.bol.ucla.edu/ (วันที่ค้นหาข้อมูล : 30 พฤศจิกายน 2558).
  • Zoe Garbis. (2558). The Physics of Bowling เข้าถึงได้จาก: https://prezi.com/vfdym3u58yiw/thephysics-
  • of-bowling/ (วันที่ค้นหาข้อมูล : 30 พฤศจิกายน 2558).
  • Donald Benner,Nicole Mours และPaul Ridenour. (2558). Pin Carry Study: Bowl Expo 2009. เข้าถึงได้จาก: http://bowl.com/ (วันที่ค้นหาข้อมูล : 4 ธันวาคม 2558).